الرئيسية
التسجيل
عــدد الـــمــســاهـمات
من طرف الدالة المحدودة
عزيزي الطالب ، نظرا لأهمية الموضوع رياضيا فقد إخترته ليكون من ضمن المواضيع ، وترجع أهميته في كثير من التطبيقات الرياضية (المهارية) وخاصة في باب التكامل .
وقبل أن نبدأ بطرح التمارين ، نورد التعاريف التالية :
1- إذا كانت د(س) ≤ ل ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي ل حدا علويا للدالة د .
ويسمى ل أصغر حدا علويا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :
* ل حد علوي ** ل أصغر الحدود العليا .
2- إذا كانت د(س) ≥ م ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي م حدا سفليا للدالة د .
ويسمى م أكبر حدا سفليا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :
* م حدا سفليا ، ** م أكبر الحدود السفلى .
3- إذا كانت د(س) = ل ، حيث ل أصغر حد علوي سمي ل قيمة عظمى للدالة د .
4- أذا كانت د(س) = م ، حيث م أكبر حد سفلي سمي م قيمة صغرى للدالة د .
ملاحظات : -1 ≤ جاس ≤ 1 ↔ |جتاس| ≤ 1 .
-1 ≤ جتاس ≤ 1 ↔ |جتاس| ≤ 1 .
أمثلة
أولا : الدوال المحدودة على فترة :
مثال: أثبت أن الدالة د(س) = 5 - 2س محدودة في الفترة ]-5 ، -3] ، ثم أوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي والقيمة الصغرى والعظمى للدالة (إن وجدت) .
الحل :
س تنتمي ]-5 ، -3] ↔ -5 < س ≤ -3 .
10> -2س ≥ 6 ، ضربنا × -2 .
11≤ 5 - 2س < 15 ، أضفنا 5 .
إذن الدالة محدودة في الفترة المعطاة ، وأكبر حد سفلي لها = 11 .
وأصغر حد علوي = 15 .
تمرين : طبق على الدالة د(س) = س2 - 4س + 3 ، ف = [1 ، 2] . { ارشاد : د(س) = (س - 2)2 - 1 }
ثانيا : الدوال المحدودة التي تحوي (جا ، جتا ، جذر) :
مثال : أثبت أن الدالة : د(س) = 2 + س / 6 . جتا س محدودة ، وأوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي لها ، س > 0 ؟ .
الحل : | د(س)| =| 2+س / 6 . جتاس| = | 2 + س / 6| . | جتاس| ≤ | 2 + س / 6| × 1 (لأن |جتاس| ≤1)
| 2+س / 6 . جتاس| ≤ | 2 + س / 6| = 2 + س / 6 < 3 .
|د(س)| < 3 ← -3 < د(س) < 3 ← الدالة محدودة في الفترة ]0 ، ∞[ .
أكبر حد سفلي لها هو -3 ، وأصغر حد علوي لها هو 3 .
ثالثا : الدوال المحدودة الكسرية :
لاحظ الطريقة التالية وطبق عليها :
* إذا كان البسط ثابت فإن 0 < الثابت في المقام ≤ المقام .
** إذا كان البسط متغير فإن 0≤ المتغير في المقام < المقام .
مثال(1) : برهن أن الدالة : د(س) = س2 + 5 / س2 محدودة في ح .
الحل : 0≤ س2 < س2 + 5 .
0 ≤ س2 + 5 / س2 < 1 ، قسمنا على س2 + 5
إذن 0≤ د(س) < 1 ، ← الدالة محدودة في ح .
أصغر حد علوي لها هو 1 ، وأكبر حد سفلي لها هو 0 وهو قيمة صغرى للدالة .
مثال(2) : أثبت أن الدالة : د(س) = س2 + 2 / 3 محدودة في ح ؟ .
الحل : 0 < 2 ≤ س2 + 2 .
0 < س2 + 2 / 3 ≤ 1 ، قسمنا على س2 + 2 .
بالضرب × 3 نحصل على : 0 < س2 + 2 / 3 ≤ 2/3 .
أي أن : 0 < د(س) ≤ 2/3 ، إذن الدالة محدودة في ح .
أكبر حد سفلي هو 0 ، وأصغر حد علوي هو 2/3 وهو قيمة عظمى .
عزيزي الطالب ، نظرا لأهمية الموضوع رياضيا فقد إخترته ليكون من ضمن المواضيع ، وترجع أهميته في كثير من التطبيقات الرياضية (المهارية) وخاصة في باب التكامل .
وقبل أن نبدأ بطرح التمارين ، نورد التعاريف التالية :
1- إذا كانت د(س) ≤ ل ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي ل حدا علويا للدالة د .
ويسمى ل أصغر حدا علويا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :
* ل حد علوي ** ل أصغر الحدود العليا .
2- إذا كانت د(س) ≥ م ، لكل س تنتمي لفترة ف من مجموعة الاعداد الحقيقية ح ، فإننا نسمي م حدا سفليا للدالة د .
ويسمى م أكبر حدا سفليا للدالة إذا حقق الشرطين التاليين :
* م حدا سفليا ، ** م أكبر الحدود السفلى .
3- إذا كانت د(س) = ل ، حيث ل أصغر حد علوي سمي ل قيمة عظمى للدالة د .
4- أذا كانت د(س) = م ، حيث م أكبر حد سفلي سمي م قيمة صغرى للدالة د .
ملاحظات : -1 ≤ جاس ≤ 1 ↔ |جتاس| ≤ 1 .
-1 ≤ جتاس ≤ 1 ↔ |جتاس| ≤ 1 .
أمثلة
أولا : الدوال المحدودة على فترة :
مثال: أثبت أن الدالة د(س) = 5 - 2س محدودة في الفترة ]-5 ، -3] ، ثم أوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي والقيمة الصغرى والعظمى للدالة (إن وجدت) .
الحل :
س تنتمي ]-5 ، -3] ↔ -5 < س ≤ -3 .
10> -2س ≥ 6 ، ضربنا × -2 .
11≤ 5 - 2س < 15 ، أضفنا 5 .
إذن الدالة محدودة في الفترة المعطاة ، وأكبر حد سفلي لها = 11 .
وأصغر حد علوي = 15 .
تمرين : طبق على الدالة د(س) = س2 - 4س + 3 ، ف = [1 ، 2] . { ارشاد : د(س) = (س - 2)2 - 1 }
ثانيا : الدوال المحدودة التي تحوي (جا ، جتا ، جذر) :
مثال : أثبت أن الدالة : د(س) = 2 + س / 6 . جتا س محدودة ، وأوجد أكبر حد سفلي وأصغر حد علوي لها ، س > 0 ؟ .
الحل : | د(س)| =| 2+س / 6 . جتاس| = | 2 + س / 6| . | جتاس| ≤ | 2 + س / 6| × 1 (لأن |جتاس| ≤1)
| 2+س / 6 . جتاس| ≤ | 2 + س / 6| = 2 + س / 6 < 3 .
|د(س)| < 3 ← -3 < د(س) < 3 ← الدالة محدودة في الفترة ]0 ، ∞[ .
أكبر حد سفلي لها هو -3 ، وأصغر حد علوي لها هو 3 .
ثالثا : الدوال المحدودة الكسرية :
لاحظ الطريقة التالية وطبق عليها :
* إذا كان البسط ثابت فإن 0 < الثابت في المقام ≤ المقام .
** إذا كان البسط متغير فإن 0≤ المتغير في المقام < المقام .
مثال(1) : برهن أن الدالة : د(س) = س2 + 5 / س2 محدودة في ح .
الحل : 0≤ س2 < س2 + 5 .
0 ≤ س2 + 5 / س2 < 1 ، قسمنا على س2 + 5
إذن 0≤ د(س) < 1 ، ← الدالة محدودة في ح .
أصغر حد علوي لها هو 1 ، وأكبر حد سفلي لها هو 0 وهو قيمة صغرى للدالة .
مثال(2) : أثبت أن الدالة : د(س) = س2 + 2 / 3 محدودة في ح ؟ .
الحل : 0 < 2 ≤ س2 + 2 .
0 < س2 + 2 / 3 ≤ 1 ، قسمنا على س2 + 2 .
بالضرب × 3 نحصل على : 0 < س2 + 2 / 3 ≤ 2/3 .
أي أن : 0 < د(س) ≤ 2/3 ، إذن الدالة محدودة في ح .
أكبر حد سفلي هو 0 ، وأصغر حد علوي هو 2/3 وهو قيمة عظمى .
