الرئيسية
التسجيل
عــدد الـــمــســاهـمات
من طرف حساب التفاضل
نحن لسنا بصدد شرح موضوع التفاضل نظريا وهندسيا لأن شرح ذلك قد يطول ، ثم يشعرك بالملل وتخرج من هذه الصفحة وهذا يشعرنا بالإحباط .
لذا عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :
ملاحظة : ص = د(س) ، صَ = تسمى مشتقة الدالة د .
أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :
نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1 .
مثال : د(س) = س5 + 3س2 - 7
صَ = 5س4 + 6س - 7 .
ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :
= (الأولى) . (مشتقة الثانية) + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .
مثال : ص = (3س + 1) . (س2 - 7س) .
صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س2 - 7س) . (3) .
= 6س2 - 21س + 2س - 7 + 3س2 - 21س .
= 9س2 - 40س - 7
ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :
= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)2
مثال : ص = س + 3 / 2س .
صَ = (س + 3)2 / 6 ( عليك تفصيل الحل) .
رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن ( )ن
= ن ( )ن - 1 (مشتقة ما بداخل القوس) .
مثال : ص = (س2 - 9س + 5)7
صَ = 7 (س2 - 9س + 5)6 . (2س - 9)
خامسا : مشتقة دالة جذرية :
= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية
سادسا : مشتفة الدالة الأسية
ص = (هـ)د(س) ← صَ = (هـ)د(س) × دَ(س) ، ( هـ = 2.7183 أو e = 2.7183) .
ص = (عدد)د(س) ← صَ = (عدد)د(س) × دَ(س) × لو عدد
مثال : ص = (هـ)2س - 5 ← صَ = (هـ)2س - 5 × 2
ص = (7)5س + 3 ← صَ = (7)5س + 3 × 5 × لو7 .
سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية
ص = لو د(س) ← صَ = دَ(س) ÷ د(س) .
ملاحظات :
- لو هـ = 1 ، لو 1 = 0 .
- لوس + لوص = لو (س × ص)
- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)
- لو س ن = ن لو س
ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية
الدالة تفاضلها
جا زاوية
جتا زاوية
ظا زاوية
ظتا زاوية
قا زاوية
قتا زاوية
جتا الزاوية × تفاضل الزاوية
- جا الزاوية × تفاضل الزاوية
قا2 الزاوية × * * *
- قتا2 الزاوية × * * *
قا الزاوية × ظا الزاوية × تفاضل الزاوية
- قتا الزاوية × ظتا الزاوية × تفاضل الزاوية
مثال : ص = جتا (س3 - 2س) ← صَ = -جا(س3 - 2س) × (3س2 - 2) . أكمل ....
قـاعدة التسلسل
لتكن ع = د(ص) ، ص = د(س) فإن :
مثال : إذا كان ص= س2 + س ، ع = ص2 ، فإن :
= 2ص × (2س +1)
= 2(س2 + س) × (2س +1)
= 4س3 + 6س2 + 2س
ملاحظة : الاشتقاق المباشر : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل
في المثال السابق ع = (س2 + س)2
نحن لسنا بصدد شرح موضوع التفاضل نظريا وهندسيا لأن شرح ذلك قد يطول ، ثم يشعرك بالملل وتخرج من هذه الصفحة وهذا يشعرنا بالإحباط .
لذا عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :
ملاحظة : ص = د(س) ، صَ = تسمى مشتقة الدالة د .
أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :
نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1 .
مثال : د(س) = س5 + 3س2 - 7
صَ = 5س4 + 6س - 7 .
ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :
= (الأولى) . (مشتقة الثانية) + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .
مثال : ص = (3س + 1) . (س2 - 7س) .
صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س2 - 7س) . (3) .
= 6س2 - 21س + 2س - 7 + 3س2 - 21س .
= 9س2 - 40س - 7
ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :
= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)2
مثال : ص = س + 3 / 2س .
صَ = (س + 3)2 / 6 ( عليك تفصيل الحل) .
رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن ( )ن
= ن ( )ن - 1 (مشتقة ما بداخل القوس) .
مثال : ص = (س2 - 9س + 5)7
صَ = 7 (س2 - 9س + 5)6 . (2س - 9)
خامسا : مشتقة دالة جذرية :
= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية
سادسا : مشتفة الدالة الأسية
ص = (هـ)د(س) ← صَ = (هـ)د(س) × دَ(س) ، ( هـ = 2.7183 أو e = 2.7183) .
ص = (عدد)د(س) ← صَ = (عدد)د(س) × دَ(س) × لو عدد
مثال : ص = (هـ)2س - 5 ← صَ = (هـ)2س - 5 × 2
ص = (7)5س + 3 ← صَ = (7)5س + 3 × 5 × لو7 .
سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية
ص = لو د(س) ← صَ = دَ(س) ÷ د(س) .
ملاحظات :
- لو هـ = 1 ، لو 1 = 0 .
- لوس + لوص = لو (س × ص)
- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)
- لو س ن = ن لو س
ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية
الدالة تفاضلها
جا زاوية
جتا زاوية
ظا زاوية
ظتا زاوية
قا زاوية
قتا زاوية
جتا الزاوية × تفاضل الزاوية
- جا الزاوية × تفاضل الزاوية
قا2 الزاوية × * * *
- قتا2 الزاوية × * * *
قا الزاوية × ظا الزاوية × تفاضل الزاوية
- قتا الزاوية × ظتا الزاوية × تفاضل الزاوية
مثال : ص = جتا (س3 - 2س) ← صَ = -جا(س3 - 2س) × (3س2 - 2) . أكمل ....
قـاعدة التسلسل
لتكن ع = د(ص) ، ص = د(س) فإن :
مثال : إذا كان ص= س2 + س ، ع = ص2 ، فإن :
= 2ص × (2س +1)
= 2(س2 + س) × (2س +1)
= 4س3 + 6س2 + 2س
ملاحظة : الاشتقاق المباشر : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل
في المثال السابق ع = (س2 + س)2
